[2016년 백마고]

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[2학년(이과) 2학기 기말 미적분2]

함수 [eqn: f(x)=2x lnx]에 대하여 [eqn: f`''(1)]의 값은? [4.0점]

④

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

부정적분 [eqn: int (sec^2 x +e^2x )dx]을 바르게 구한 것은? (단, [eqn: C]는 적분상수이다.) [4.0점]

④

① [eqn: -tanx- { 1} over {2 }e^2x +C]	② [eqn: -tanx+ { 1} over {2 }e^2x +C]

③ [eqn: tanx- {1} over {2} e ^{2x} +C]	④ [eqn: tanx+ {1} over {2} e ^{2x} +C]

⑤ [eqn: -tanx+e ^{2x} +C]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 다음 중
[eqn: f`'(x)f`''(x)>0]을 만족시키는 점은? (단, [eqn: rmC]는 변곡점이고, [eqn: f(x)]는 점 [eqn: rmB]에서 극댓값, 점 [eqn: rmD]에서 극솟값을 갖는다.) [4.1점]

⑤

① [eqn: rmA]	② [eqn: rmB]	③ [eqn: rmC]
④ [eqn: rmD]	⑤ [eqn: rmE]

함수 [eqn: f(x)=16^x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, [eqn: g'(log_4 e)]의 값은? [4.1점]

②

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: F(x)=int(cos2pix+5^x )dx]에 대하여 [eqn: F(0)= { 1} over {ln5 }]일 때, [eqn: F(2)]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: {5} over {ln5}]	② [eqn: {25} over {ln5}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 5ln5]	⑤ [eqn: 25ln5]

등식 [eqn: int_0 ^{ { pi} over { 2} }x cosxdx=a pi+b]를 만족시키는 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: a+b]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: -1]	② [eqn: -{ 1} over { 2}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: e^x ge x+k-4]가 성립하도록 하는 상수 [eqn: k]의 최댓값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)= { x^2} over {e^x }]에 대한 보기의 설명 중 옳은 것의 개수는? [4.3점]

③

ㄱ. [eqn: lim_x->inf f(x)=0]이다.

ㄴ. [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: 0]이다.

ㄷ. [eqn: f(x)]의 변곡점은 한 개 존재한다.

ㄹ. 구간 [eqn: [-1,```1]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 1overe]이다.

ㅁ. [eqn: 0<k< { 4} over { e^2}]인 실수 [eqn: k]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=k]는

서로 다른 세 실근을 갖는다.

① [eqn: 1]개	② [eqn: 2]개	③ [eqn: 3]개
④ [eqn: 4]개	⑤ [eqn: 5]개

실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족한다.

이 때, [eqn: int_-1 ^1 f(x)dx]의 값은? (단, [eqn: f`'(x)]는 연속함수이다.) [4.4점]

(가) [eqn: f(1)= {7} over {2}]

(나) [eqn: int _{-3} ^{-1} {} (2x+6)f` prime (x+2)dx=10]

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

어느 회사에서 만든 상품의 가격을 [eqn: 1]톤에 [eqn: x]만원으로 정하면 [eqn: sqrt { 90-x}]톤이 팔리고, 이 상품 [eqn: 1]톤을 만드는 데 [eqn: 3]만원이 든다고 한다. 이 상품을 팔아서 생기는 이익이 최대일 때, 상품 [eqn: 1]톤의 가격은? (단, [eqn: 0<x<90]) [4.4점]

①

① [eqn: 61]만원	② [eqn: 62]만원	③ [eqn: 63]만원

④ [eqn: 64]만원	⑤ [eqn: 65]만원

[eqn: x>0]에서 함수 [eqn: f(x)=e^x -x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,
[eqn: int_1 ^3 f(x)dx+int_e-1 ^{e^3 -3 }g(x)dx]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: 3e ^3 -e-8]	② [eqn: 3e ^3 -9]	③ [eqn: 3e ^{3} -e-1]

④ [eqn: 3e ^{3} -e]	⑤ [eqn: 3e ^{3} -1]

두 곡선 [eqn: y=log _{n} x], [eqn: y=log _{n+1} x] 및 두 직선 [eqn: x=e], [eqn: x=2e]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S(n)]이라 할 때, [eqn: sum _{k=2} ^{63} S(k)]의 값은? (단, [eqn: n]은 [eqn: 2] 이상의 자연수이다.) [4.5점]

⑤

① [eqn: 1over3 e]	② [eqn: 2over3 e]	③ [eqn: e]

④ [eqn: 4over3 e]	⑤ [eqn: {5} over {3} e]

함수 [eqn: f(x)= {cosx} over {e ^{3x}}]가 [eqn: x=t]에서 극댓값을 가질 때, [eqn: sint]의 값은? (단, [eqn: 0<x<2pi]) [4.7점]

①

① [eqn: - {3 sqrt {10}} over {10}]	② [eqn: - {sqrt {10}} over {10}]	③ [eqn: {sqrt {10}} over {10}]

④ [eqn: {3 sqrt {10}} over {10}]	⑤ [eqn: 1]

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 2sqrt { 3}], 높이가 [eqn: 2]인 원기둥 모양의 그릇에 물이 가득 담겨 있다. 다음 그림과 같이 이 그릇을 [eqn: 60DEG]의 각도로 기울였을 때, 그릇에 남아 있는 물의 부피는? [4.7점]

③

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

곡선 [eqn: y= { sin^2 x} over {1+sinx }]와 직선 [eqn: y= { 1} over {n }]의 교점의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1 ^5 a_n]의 값은? (단, [eqn: -{ pi} over { 2}<x< { 3} over {2 }pi]이고 [eqn: n]은 자연수이다.) [4.8점]

③

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

다음은 원점을 중심으로 하는 반지름 [eqn: 2]인 원의 그래프이다. [eqn: x]축 위의 점 [eqn: {rmA}_1 left( { 2} over {n },```0 right)], [eqn: {rmA}_2 left( { 4} over {n },```0 right)], [eqn: cdots], [eqn: {rmA}_n-1 left( { 2(n-1)} over {n },```0 right)]에서 [eqn: x]축에 수직으로 그은 직선이 원과 만나는 점을 차례대로 [eqn: rmB_1], [eqn: rmB_2], [eqn: cdots], [eqn: {rmB}_n-1]이라 하자. 이때, [eqn: k=1,```2,```cdots,```n-1]에 대하여 삼각형 [eqn: {rmOA}_k {rmB}_k]의 넓이를 [eqn: S(k)]라 할 때, [eqn: lim_n->inf { 2} over { n}sum_k=1 ^n-1 S(k)]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [4.9점]

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 8over3]

서술형

함수 [eqn: f(x)=kx-cos2x]가 극값을 갖지 않도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: k le -2] 또는 [eqn: k ge2]

점 [eqn: (2,```0)]에서 곡선 [eqn: y=2xe^x]에 그은 두 접선의 기울기를 각각 [eqn: m_1], [eqn: m_2]라고 할 때, [eqn: m_1 m_2]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: 4e^2]

어떤 그릇에 물을 채우는데 물의 깊이가 [eqn: x rmcm]일 때, 수면의 모양이 한 변의 길이가 [eqn: e^-3x rmcm]인 정육각형이라고 한다. 이 그릇에 담긴 물의 부피가 [eqn: { sqrt { 3} } over 4{ }(1-e^-12 )rmcm^3]일 때, 그릇에 담긴 물의 깊이를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: 2]

다음은 곡선 [eqn: y=x sinx]의 그래프이다. 구간 [eqn: [0,```pi]]에서 곡선 [eqn: y=x sinx]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 구간 [eqn: [pi,```k]]에서 곡선 [eqn: y=x sinx]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=k]로 둘러싸인 부분의 넓이가 같도록 하는 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k^2 -sec^2 k]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. (단, [eqn: pi<k<2pi]이다.) [8.0점]

[eqn: -1]

[2016년 백마고]

[2학년(이과) 2학기 기말 미적분2]

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